子集的无冲突染色

我们引入并研究超图中 $t$-子集的无冲突染色。在此类染色中，为所有基数为 $t$ 的顶点子集分配颜色，使得在任意基数至少为 $t$ 的超边中存在一个唯一染色的 $t$-子集。情形 $t=1$，即顶点无冲突染色，是一个被充分研究的 notion。即便 $t=2$ 的情形(即对边染色)似乎也带来了新的挑战。许多用于几何超图无冲突染色的工具依赖于底层超图的遗传性质。当处理顶点子集时，这些性质不能传递到子集族上。因此，我们开发了可能具有独立意义的新工具。(i) 对任意固定的 $t$，我们证明平面中任一点集 $P$ 的 $n$ 个点所对应的 $\binom n t$ 个 $t$-子集可用 $O(t^2 \log^2 n)$ 种颜色染色，使得任意包含 $P$ 中至少 $t$ 个点的轴平行矩形也包含一个唯一染色的 $t$-子集。(ii) 对于一类广泛的“良态”几何定义超图，我们给出了其 $t$-子集无冲突色数的近乎紧的上界。对 $t=2$，我们证明对每一个此类“良态”超图 $H$，由取 $H$ 中两条超边之并所得的超图 $H'$ 可接纳一种 $2$-子集无冲突染色，所用颜色数大致与 $H$ 相同。例如，我们证明平面中任一点集 $P$ 的 $n$ 个点的 $\binom n 2$ 个点对可用 $O(\log n)$ 种颜色染色，使得对平面上任意两个圆盘 $d_1,d_2$，若 $|(d_1\cup d_2)\cap P|\geq 2$，则存在唯一(在 $d_1 \cup d_2$ 中)染色的点对。(iii) 我们还证明，即便对 $t=2$，也不存在将 $t$-子集无冲突色数作为标准无冲突色数之函数的一般性上界。