区间染色的动态数据结构

我们考虑限制在区间图类上的动态图染色问题。在每个更新步骤，算法被给定一个待染色的区间，或一个先前已染色待删除的区间。算法的目标是通过在线算法以尽可能少的颜色高效维护区间的合法染色。在增量模型中，每个更新步骤向算法呈现一个待染色的区间。该问题与区间图的在线顶点染色问题紧密相关，对此Kierstead-Trotter（KT）算法达到了最佳可能的竞争比。我们首先表明，基于Henzinger等人（\cite{DBLP:conf/stoc/HenzingerKNS15}）的在线布尔矩阵向量乘法猜想的正确性，不太可能存在次二次时间的KT算法直接实现。然后我们设计了一种与KT算法微妙不同的增量算法，其使用至多 $3 \omega - 2$ 种颜色，其中 $\omega$ 是与区间集合相关的区间图中的最大团。我们的增量数据结构在摊还 $O(\log n + \Delta)$ 更新时间内维护合法染色，其中 $n$ 是插入的区间总数，$\Delta$ 是区间图中顶点的最大度。接着我们考虑涉及插入和删除的完全动态框架。每次更新时，我们的目标是维护剩余区间集合的 $3 \omega - 2$ 染色，其中 $\omega$ 是与剩余区间集合相关的区间图中的最大团。我们的完全动态算法在 $O(\log n + \Delta \log \omega)$ 最坏情况更新时间内支持区间插入，并在 $O(\Delta^2 \log n)$ 最坏情况更新时间内支持区间删除。