有界 Arboricity 图的显式与隐式动态着色

图着色是计算机科学中的一个基本问题。我们研究该问题的完全动态版本，其中图经历边的插入和删除，并且我们希望在每次插入和删除后以较小的更新时间维护顶点着色。我们展示了如何以多对数更新时间维护 $O(\alpha \lg n)$ 着色，其中 $n$ 为图中的顶点数，$\alpha$ 为图当前的 arboricity。这改进了 Solomon 和 Wein (ESA'18) 的结果，他们维护了 $O(\alpha_{\max}\lg^2 n)$ 着色，其中 $\alpha_{\max}$ 为所有更新中图的最大 arboricity。此外，受 Barba 等人 (Algorithmica'19) 下界的启发，我们开启了隐式动态着色的研究。Barba 等人表明，当顶点颜色被显式存储时（即每个顶点的颜色在内存中显式存储），具有多对数更新时间的动态算法无法为任何函数 $f$ 维护 $f(\alpha)$ 着色。此前，所有动态算法维护的都是显式着色。因此，我们提议研究隐式着色，即数据结构只需提供高效的查询过程以返回顶点颜色（而非显式存储其颜色）。我们提供了一种打破该下界的算法，并以多对数更新时间维护隐式 $2^{O(\alpha)}$ 着色。特别地，这给出了针对具有常数 arboricity 的图（如平面图或具有有界树宽的图）的首个动态 $O(1)$ 着色，而使用显式着色是不可能的。我们还展示了如何以多对数更新时间动态维护图的边到 $O(\alpha)$ 个森林的划分。我们相信该数据结构具有独立意义，并可能在未来有更多应用。