关于高阶截断里斯htz变换由高阶里斯htz变换控制的维数自由性

固定一个正整数 $k$。设 $R_k$ 为 $\mathbb{R}^d$ 上的高阶里斯htz变换阶数 $k$，设 $R_k^t,$ $t>0,$ 为对应的截断里斯htz变换。我们研究 $\|R_k f\|_{L^p(\mathbb{R}^d)}$ 与 $\|R_k^t f\|_{L^p(\mathbb{R}^d)}$ 之间的关系，其中 $p=1$, $p=\infty,$ 和 $p=2.$ 通过分析由关系 $R_k^t=M_k^t R_k$ 定义的因子算子 $M_k^t$ 来实现。算子 $M_k^t$ 是与 $L^1$ 径向核 $b_{k,d}^t(x)=t^{-d}b_{k,d}(x/t)$ 相关的卷积算子，其中 $b_{k,d}(x):=b_{k,d}^1(x).$ 我们证明仅当 $k=1,2$ 时，$b_{k,d} \ge 0$。我们还表明对于固定的 $k\ge 3$，$$\lim_{d\to \infty}\|b_{k,d}\|_{L^1(\mathbb{R}^d)}=\infty.$$ 这与 $k=1,2$ 的情况形成对比，在后者中已知 $\|b_{k,d}\|_{L^1(\mathbb{R}^d)}=1$。最后，我们表明对于任意正整数 $k$，$b_{k,d}$ 的傅里叶变换在绝对值上被界为 $1.$ 这意味着合约估计 $$\|R_k^t f\|_{L^2(\mathbb{R}^d)}\le \|R_k f\|_{L^2(\mathbb{R}^d)}$$ 以及针对一般具有光滑核的奇异积分在径向输入函数 $f$ 上的类似估计。