复Riesz变换幂的尖锐$L^p$估计

设$R_{1,2}$为$\mathbb{R}^2$上的标量Riesz变换。我们证明算子$R_2+iR_1$的$k$次幂的$L^p$范数在$k\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}$、$p\geq2$时精确表现为$|k|^{1-2/p}p$。这给出了对Iwaniec与Martin于1996年所提出问题的完整渐近回答。主要新颖之处在于下界估计，我们给出了三种不同的证明。我们还猜想$\|(R_2+iR_1)^k\|_p$的精确值。此外，我们建立了$(R_2+iR_1)^k$的弱$(1,1)$常数的尖锐行为，以及一个精确到对数因子的$L^\infty$到$BMO$估计。