关于常数无政府价格猜想

我们研究 Fabrikant 等人提出的经典网络创建博弈模型中的纳什均衡与无政府价格(price of anarchy)。在该模型中,每个智能体(节点)以预设价格 $\alpha > 0$ 购买连边,以连接到由全部 $n$ 个智能体形成的网络。在此设定下,重新表述的树猜想指出,对于 $\alpha > n$,每个纳什均衡网络都是一棵树。此外,Demaine 等人猜想该模型的无政府价格是常数。由于已证明树的無政府价格为常数,若树猜想成立,则对于 $\alpha > n$ 无政府价格亦为常数。迄今已证明 \PoA 为常数 $(i)$ 在\emph{下界区间},对于 $\alpha = O(n^{1-\delta})$ 且 $\delta \geq \frac{1}{\log n}$,以及 $(ii)$ 在\emph{上界区间},对于 $\alpha > 4n-13$。相比之下,针对剩余区间已知的最佳无政府价格上界为 $2^{O(\sqrt{\log n})}$。本文给出关于 $\alpha > n$ 时纳什均衡结构的新见解,并扩大了无政府价格为常数的参数 $\alpha$ 范围。具体而言,我们证明对于 $\alpha > n(1+\epsilon)$,无政府价格为常数,方法是证明任何直径大于某预设常数的均衡都是一棵树。