关于 $-1/2<a<0$ 时 $\Delta_a(x)$ 的高阶矩

设 $-1/2<a<0$ 为固定实数\n\begin{equation*}\n\Delta_{a}(x)=\sideset{}{'}\sum_{n\leq x} \sigma_a(n)-\zeta(1-a)x-\frac{\zeta(1+a)}{1+a}x^{1+a}+\frac{1}{2}\zeta(-a).\n\end{equation*}\n本文研究 $\Delta_a(x)$ 的高阶矩，给出积分 $\int_{1}^{T}\Delta_a^k(x)\mathrm{d}x$ 对应的渐近公式，这在 $k=3,4,5$ 时提高了赵[9]以前的结果，并将上界扩展至 $7$。