关于 Hölder 微分同胚群及其正则性

我们研究 $\mathbb R^d$ 的保向微分同胚集合 $\mathcal D^{n,\beta}(\mathbb R^d)$，这些微分同胚与恒同映射相差一个 Hölder $C^{n,\beta}_0$-映射，其中 $n \in \mathbb N_{\ge 1}$ 且 $\beta \in (0,1]$。我们证明 $\mathcal D^{n,\beta}(\mathbb R^d)$ 构成一个群，但 $\mathcal D^{n,\beta}(\mathbb R^d)$ 中的左平移通常是不连续的。然而，群 $\mathcal D^{n,\beta-}(\mathbb R^d) := \bigcap_{\alpha < \beta} \mathcal D^{n,\alpha}(\mathbb R^d)$（赋予其自然 Fréchet 拓扑）和 $\mathcal D^{n,\beta+}(\mathbb R^d) := \bigcup_{\alpha > \beta} \mathcal D^{n,\alpha}(\mathbb R^d)$（赋予其自然归纳局部凸拓扑）对于任意缓慢消失的连续性模 $\omega$ 均为 $C^{0,\omega}$ Lie 群。特别地，$\mathcal D^{n,\beta-}(\mathbb R^d)$ 是一个拓扑群，并且是一个所谓的半 Lie 群（具有光滑的右平移）。我们证明 Hölder 空间 $C^{n,\beta}_0$ 是 ODE 闭的，意即逐点时变 $C^{n,\beta}_0$-向量场 $u$ 在 $\mathcal D^{n,\beta}(\mathbb R^d)$ 中具有唯一的流 $\Phi$。这特别包含了所有 Bochner 可积函数 $u \in L^1([0,1],C^{n,\beta}_0(\mathbb R^d,\mathbb R^d))$。对于后者且 $n\ge 2$ 的情形，我们证明流映射 $L^1([0,1],C^{n,\beta}_0(\mathbb R^d,\mathbb R^d)) \to C([0,1],\mathcal D^{n,\alpha}(\mathbb R^d))$，$u \mapsto \Phi$，对每个 $\alpha < \beta$ 均是连续的（甚至是 $C^{0,\beta-\alpha}$ 的）。作为应用，我们证明来自图像分析的相应 Trouvé 群 $\mathcal G_{n,\beta}(\mathbb R^d)$ 与 $\mathcal D^{n,\beta}(\mathbb R^d)$ 的恒同连通分支重合。