多边形空间的拓扑

令 $E_{d}(\ell)$ 表示 $\R^{d}$（其中 $d\ge 2$）中所有边长分别为 $\ell_1,..., \ell_n$ 的闭 $n$-边形在忽略平移下的空间。空间 $E_d(\ell)$ 由编码边长参数的长度向量 $\ell=(\ell_1,..., \ell_n)\in \R^n_{>}$ 参数化。一般而言，$E_{d}(\ell)$ 是一个维数为 $(n-1)(d-1)-1$ 的闭光滑流形，其上承载着正交群 ${O}(d)$ 的一个显然作用。然而，当 $d>3$ 时，对于一般的 $\ell$，商空间 $E_{d}(\ell)/{O}(d)$（$n$-边形形状的模空间）具有奇点；该商空间在低维情形 $d=2$ 和 $d=3$ 中已被很好地理解。本文的主要结果表明，对于固定的 $d\ge 3$ 和 $n\ge 3$，当一般向量 $\ell$ 变化时，流形 $E_{d}(\ell)$ 的微分同胚类型与某些组合对象——一个有限超平面集合的补集的连通分量——之间存在一一对应。这一结果符合 K. Walker 猜想的精神，该猜想在平面情形 $d=2$ 中提出了一个类似的问题。