$d$ 复折曲面空间的拓扑

给定闭 Oriented曲面的最大测地纹理 $\lambda$，具有纹折线 $\lambda$ 的 $d$ 复折曲面的空间是由在Hitchin表示上沿$\lambda$应用广义折弯得到的 $\mathrm{Hom}(\pi_1(S),\mathsf{PGL}_d(\mathbb{C}))$ 的一个开子集。当 $d=2$ 时，可恢复$\mathbb{H}^3$中的抽象折曲面。在本文中，我们研究具有纹折线 $\lambda$ 的 $d$ 复折曲面的同伦类空间 $\mathfrak{R}(\lambda,d)$。首先，我们证明 $\mathfrak{R}(\lambda,d)$ 与 $\mathbb{R}^{(d^2-1)(2g-2)}\times(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z})^{(d^2-1)(2g-2)}\times \mathbb{Z}_d$ 是实解析微分同胚同构的，其中 $\mathbb{Z}_d$ 表示阶为 $d$ 的有限循环群。进一步，我们显示 $\mathrm{Hom}(\pi_1(S),\mathsf{PGL}_d(\mathbb{C}))$ 中每个连通分量的同伦类空间恰好包含 $\mathfrak{R}(\lambda,d)$ 的恰好一个连通分量。