连接模空间紧化中的 $p$-角形 locus

考虑亏格 $g\geq 2$ 的黎曼曲面模空间 $\mathcal{M}_{g}$ 及其 Deligne-Mumford 紧化 $\bar{\mathcal{M}_{g}}$。我们关注 $g>2$ 时的分支 locus ${\mathcal{B}_{g}}$，即 $\mathcal{M}_{g}$ 中由具有自同构的曲面组成的子集。众所周知，超椭圆曲面集（超椭圆 locus）在 $\mathcal{M}_{g}$ 中是连通的，而（循环）三角曲面集则不然。相比之下，我们证明了对于 $g\geq 5$，（循环）三角曲面集在 $\bar{\mathcal{M}_{g}}$ 中是连通的。为此，我们展示了一个显式的节点曲面，它位于每个等对称 3-角形黎曼曲面集的完备化中。对于 $p>3$，$p$-角形 locus 的连通性变得更为复杂。我们证明了对于素数 $p\geq 11$ 且亏格 $g=p-1$ 的情况，存在一维的循环 $p$-角形曲面层，它们在 $\bar{\mathcal{M}_{g}}$ 中分支 locus 的完备化 $\bar{\mathcal{B}_{g}}$ 中是完全孤立的。