$\mathbb R^n$ 上微分同胚群的一个奇异集合

设 $C^{[M]}$ 为 Beurling 型或 Roumieu 型的（局部）Denjoy-Carleman 类，其中权重序列 $M=(M_k)$ 是对数凸的且具有中等增长。我们证明了 $\mathbb{R}^n$ 上的 $C^{[M]}$-微分同胚群 ${\operatorname{Diff}}\mathcal{B}^{[M]}(\mathbb{R}^n)$、${\operatorname{Diff}}W^{[M],p}(\mathbb{R}^n)$、${\operatorname{Diff}}{\mathcal{S}}{}_{[L]}^{[M]}(\mathbb{R}^n)$ 和 ${\operatorname{Diff}}\mathcal{D}^{[M]}(\mathbb{R}^n)$ 是 $C^{[M]}$-正则李群，这些群与恒等映射的差分别属于 $\mathcal{B}^{[M]}$（全局 Denjoy--Carleman）、$W^{[M],p}$（Sobolev-Denjoy-Carleman）、${\mathcal{S}}{}_{[L]}^{[M]}$（Gelfand--Shilov）或 $\mathcal{D}^{[M]}$（紧支集 Denjoy-Carleman）中的映射。作为应用，我们利用 $R$-变换证明实轴上的 Hunter-Saxton 偏微分方程在 $W^{[M],1}$、${\mathcal{S}}{}_{[L]}^{[M]}$ 和 $\mathcal{D}^{[M]}$ 任何类中都是适定的。在此我们发现了一些具有连续左平移和 $C^{[M]}$ 右平移的奇异群（称为半李群），然而它们也允许 $R$-变换。