检验函数空间与微分同胚群的指数律

我们证明了以下检验函数类 $\mathcal A$ 的指数律 $\mathcal A(E \times F, G) \cong \mathcal A(E,\mathcal A(F,G))$ (有界同构): $\mathcal B$ (全局有界导数), $W^{\infty,p}$ (全局 $p$-可积导数), $\mathcal S$ (Schwartz 空间), $\mathcal D$ (紧支集, $\mathcal B^{[M]}$ (全局 Denjoy-Carleman), $W^{[M],p}$ (Sobolev-Denjoy-Carleman), $\mathcal S_{[L]}^{[M]}$ (Gelfand-Shilov), 以及 $\mathcal D^{[M]}$。这里 $E, F, G$ 是合适向量空间 (在 $W^{\infty,p}$, $\mathcal D$, $W^{[M],p}$ 和 $\mathcal D^{[M]}$ 的情形下为有限维), 且 $M=(M_k)$ 是一个中等增长的弱对数凸权序列。作为应用, 我们对以下事实给出一个新的简单证明: 微分同胚群 $\operatorname{Diff} \mathcal B$, $\operatorname{Diff} W^{\infty,p}$, $\operatorname{Diff} \mathcal S$ 和 $\operatorname{Diff}\mathcal D$ 是 $C^\infty$ Lie 群, 而对于非拟解析的 $M$, $\operatorname{Diff} \mathcal B^{\{M\}}$, $\operatorname{Diff}W^{\{M\},p}$, $\operatorname{Diff} \mathcal S_{\{L\}}^{\{M\}}$ 和 $\operatorname{Diff}\mathcal D^{[M]}$ 是 $C^{\{M\}}$ Lie 群, 其中 $\operatorname{Diff}\mathcal A = \{\operatorname{Id} +f : f \in \mathcal A(\mathbb R^n,\mathbb R^n), \inf_{x \in \mathbb R^n} \det(\mathbb I_n+ df(x))>0\}$。我们也讨论了复合下的稳定性。