闭单位圆盘上收敛到恒等映射的微分同胚

若 $\mathcal{G}$ 为微分同胚 $f : {\bar{D}}(0;1) \rightarrow {\bar{D}}(0;1)$ 在复合下构成的群，这些微分同胚在闭单位圆周上是恒等映射 $id : {\bar{D}}(0;1) \rightarrow {\bar{D}}(0;1)$，且满足 $det(J(f)) > 0$，其中 $J(f)$ 是 $f$ 的雅可比矩阵或（等价地）$f$ 的弗雷歇导数，则赋予度量 $d_{\mathcal{G}}(f,g) = \Vert f-g \Vert_{\infty } + \Vert J(f) - J(g) \Vert_{\infty }$（其中 $f$、$g$ 取遍 $\mathcal{G}$）的 $\mathcal{G}$ 是一个度量空间，其中当 $t \rightarrow 1^{+}$ 时 $d_{\mathcal{G}} \left( f_{t} , id \right) \rightarrow 0$，这里 $f_{t}(z) = \frac{ tz }{ 1 + (t-1) \vert z \vert }$，对任意 $z \in {\bar{D}}(0;1)$ 且 $t \geq 1$。