曲面上群作用中的扭曲元

若 $\G$ 是由 $\{g_1,...,g_j\}$ 生成的有限生成群，则无限阶元 $f \in \G$ 称为 $\G$ 的一个{\em 扭曲元（distortion element）}，如果 $\displaystyle{\liminf_{n \to \infty} |f^n|/n = 0,}$ 其中 $|f^n|$ 是 $f^n$ 关于生成元的字长。设 $S$ 为闭可定向曲面，$\Diff(S)_0$ 表示 $S$ 的 $C^1$ 微分同胚群的单位元连通分支。我们的主要结果表明：若 $S$ 的亏格至少为 2，且 $f$ 是 $\Diff(S)_0$ 的某个有限生成子群中的扭曲元，则对每一个 $f$-不变的 Borel 概率测度 $\mu$ 有 $\supp(\mu) \subset \Fix(f)$。对 $S = T^2$ 或 $S^2$ 证明了相关结果。对 $S$ 上的 Borel 概率测度 $\mu$，将保持 $\mu$ 的 $C^1$ 微分同胚群记为 $\Diff_{\mu}(S)$。我们给出了主要结果的若干应用，表明某些群（包括一大类高秩格）不容许有无限像的到 $\Diff_{\mu}(S)$ 的同态。