关于固定公共点的 $\mathbb{C}^n$ 全纯微分同胚群的动力学

本文研究了固定原点的 $\mathbb{C}^n$ 全纯微分同胚群（自同构）$G$ 在 $\mathbb{C}^n$ 上的作用。假设存在 $x \in \mathbb{C}^n$，其轨道生成 $\mathbb{C}^n$，且 $E(x)=\mathbb{C}^n$，其中 $E(x)$ 是由 $L_{G}=\{D_{0}f x, f \in G \}$ 生成的向量空间。我们给出了一个重要的条件，使得轨道 $G(x)$ 通过线性映射同构于线性群 $L_{G}$ 的轨道 $L_{G}(x)$。此外，若 $G$ 是阿贝尔群，我们证明了存在一个在 $\mathbb{C}^n$ 中稠密的 $G$-不变开集 $U$，其中每个轨道 $O$ 都是相对极小的（即 $O$ 在 $U$ 中的闭包是一个非空闭的 $G$-不变集，且没有具有这些性质的真子集）。进而，若 $G$ 在 $\mathbb{C}^n$ 中具有稠密轨道，则 $U$ 中的每个轨道在 $\mathbb{C}^n$ 中都是稠密的。