Wasserstein导数结构的初等证明

设 $F: \mathbb{L}^2(\Omega, \mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ 是一个律不变且连续 Fréchet 可微的映射。基于 Lions \cite{Lions}、Cardaliaguet \cite{Cardaliaguet}（定理 6.2 和 6.5）证明了：\bea \label{Derivative} D F (\xi) = g(\xi), \eea 其中 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 是一个仅依赖于 $\xi$ 的律的确定性函数。亦见 Carmona \& Delarue \cite{CD} 第 5.2 节。在本短注中，我们为这一著名结果提供一个初等证明。本注是我们配套论文 \cite{WZ} 的一部分，该论文处理更一般的情况。