黎曼流形上测度中的导数公式

我们刻画了 [AKR,Card,ORS] 中分别以不同方式引入的、定义在黎曼流形 $M$ 上有限测度空间 $\mathbb M$ 的函数之测度导数的联系。对一类合理的函数 $f$，外蕴导数 $D^Ef$ 与线性泛函导数 $D^Ff$ 一致，内蕴导数 $D^If$ 等于 $L$-导数 $D^Lf$，且 $$D^If(\eta)(x)= D^{L}f(\eta)(x)= \lim_{s\downarrow 0} \frac 1 s \nabla f(\eta+s \delta_\cdot)(x) = \nabla \big\{D^E f (\eta)\big\}(x), \ \ (x,\eta)\in M\times\mathbb M,$$ 其中 $\nabla$ 为 $M$ 上的梯度，$\delta_x$ 为 $x$ 处的 Dirac 测度，且 $$D^Ef(\eta)(x):= \lim\limits_{s\downarrow 0} \frac { f(\eta+s \delta_x)-f(\eta)} s,\ \ x\in M$$ 为 $f$ 在 $\eta\in \mathbb M$ 处的外蕴导数。这给出了计算内蕴或 $L$-导数的简单方法，并推广到概率测度的函数。