从距离差函数确定黎曼流形

设$(N,g)$为具有距离函数$d(x,y)$的黎曼流形，并设$M\subset N$为开子集。对$x\in M$，记$D_x$为距离差函数$D_x:F\times F\to \mathbb R$，由$D_x(z_1,z_2)=d(x,z_1)-d(x,z_2)$给出，其中$z_1,z_2\in F=N\setminus M$。我们考虑如下反问题：当给定距离差数据，即集合$F$、度量$g|_F$以及集合$\mathcal D(M)=\{D_x;\ x\in M\}$时，确定流形$M$的拓扑与可微结构及其上的度量$g|_M$。此外，我们将流形$M$在向量空间$C(F\times F)$中的嵌入像$\mathcal D(M)$视为流形$M$的一种表示。从$\mathcal D(M)$确定$(M,g)$的反问题出现在例如$\mathbb R\times N$上波方程的研究中，当我们在$F$中观测由未知点$(t,x)\in \mathbb R\times M$处自发点源产生的波时。此时$D_x(z_1,z_2)$是在点$z_1$和$z_2$观测到由点$x$处未知时刻发出的点源所产生的波的时间差。该问题在混合反问题和地球物理成像中有应用。