Gel'fand 内部反谱问题的重构与稳定性

假设 $M$ 是一个有界几何的紧致黎曼流形，其有界性由对其直径、Ricci 曲率和单射半径的限制给出。假设给定带有一定误差的 $M$ 上 Laplace 算子 $\Delta_g$ 的前几个特征值，以及限制在 $M$ 的某个开集上的相应特征函数。随后，我们构造流形 $(M,g)$ 的一个稳定近似。即，当上述数据带有微小误差时，我们构造出一个度量空间和一个黎曼流形，它们在适当意义下与 $M$ 仅有微小差异。我们给出了一个显式的 $\log\log$ 型稳定性估计，刻画了所构造的流形及其上的度量如何依赖于给定数据中的误差。此外，针对 Gel'fand 反问题，我们推导出了类似的稳定性估计。该证明基于几何收敛方法、唯一延拓的定量稳定性估计，以及几何边界控制方法的一个新版本。