流形的重构与插值 II：基于距离观测与热核的部分数据反问题

我们考察闭黎曼流形 $M$ 及其度量张量 $g$ 如何能从局部距离测量中近似重构。此外，我们考虑从热核的有限知识确定 $(M,g)$ 的反问题。在论文第 1 部分中，我们考虑了当给定所有点 $x,y\in X$（其中 $X$ 是 $M$ 的 $\delta$-稠密子集且 $|\varepsilon_{x,y}|<\delta$）的含噪距离 $\tilde d(x,y)=d(x,y)+\varepsilon_{x,y}$ 时光滑流形的近似构造。在论文第 2 部分中，我们考虑具有部分数据的类似问题，即当给定 $x\in X$ 与 $y \in U\cap X$ 的 $\tilde d(x,y)$（其中 $U$ 是 $M$ 的开子集）时，流形 $(M,g)$ 的近似构造。此外，我们考虑从热核 $G(y,z,t)$ 的含噪观测确定具有非负 Ricci 曲率的流形 $(M,g)$ 的反问题。我们证明，当对某些未知的源点 $z_j\in X\setminus U$，给定乘性噪声下 $y\in X\cap U$ 与 $t\in (0,1)$ 的热核值 $G(y,z_k,t)$ 时，可以稳定地确定逼近 $(M,g)$ 的流形。我们还对无噪声数据情形下的反问题给出唯一性结果，并考虑在流形学习中的应用。热核反问题的一个新颖特征是包含源的集 $M\setminus U$ 与观测集 $U$ 互不相交。