可容许流形上部分数据 Calder\'on 问题的重构

我们考虑开发一种方法，从固定可容许流形 $(M,g)$ 上 Schr\"odinger 方程 $(-\Delta_g+q)u=0$ 的部分数据 Dirichlet-to-Neumann 映射重构势 $q$ 的问题。如果不可用于测量的边界部分在一个方向上满足平坦条件，则我们重构势 $q$ 的一维 Fourier 变换的局部衰减测地线射线变换。这允许我们在局部（未衰减）测地线射线变换可构造性可逆时局部重构 $q$。如果 $M$ 满足某种凹性条件且全局测地线射线变换可构造性可逆，我们也全局重构 $q$。这些是针对 Kenig 和 Salo 给出的相应唯一性结果的重构过程。此外，全局重构扩展并改进了 Nachman 和 Street 在欧氏环境中的构造性证明。我们推导了某个涉及给定部分数据并描述复几何光学解迹的边界积分方程。为构造复几何光学解，遵循 Nachman 和 Street 并改进其论证，我们使用了 Laplace-Beltrami 算子的新一族 Green 函数及相应的单层势。局部或全局测地线射线变换的构造性反演问题是积分几何中的主要感兴趣主题之一。