流形的重建与插值 I：几何惠特尼问题

我们研究几何惠特尼问题，即如何构造黎曼流形 $(M,g)$ 以逼近度量空间 $(X,d_X)$。该问题与流形重建密切相关，后者需构造光滑 $n$ 维子流形 $S\subset {\mathbb R}^m$（$m>n$）以逼近 ${\mathbb R}^m$ 中的点云。这些疑问出现在微分几何、机器学习以及应用中遇到的许多反问题中。黎曼流形的确定包括其拓扑、可微结构及度量的构造。我们给出上述问题的构造性解。此外，我们刻画了可被有界几何黎曼流形逼近的度量空间：我们给出充分条件以确保度量空间能在 Gromov-Hausdorff 或拟等距意义下，被固定维数且具有有界直径、截面曲率和单射半径的黎曼流形逼近。同时，我们证明类似条件（带有修正的参数值）是必要的。作为主要结果的应用，我们给出了具有双边曲率界的亚历山德罗夫空间的新刻画。此外，我们刻画了欧氏空间中被固定维数且具有有界主曲率和法向单射半径的子流形在 Hausdorff 度量下可逼近的子集。我们开发了算法流程，用于求解度量空间的几何惠特尼问题及欧氏空间中的流形重建问题，并估计了这些流程的计算复杂度。