从点云通过流形移动最小二乘法逼近黎曼度量

对于从欧氏空间嵌入子流形 $\mathcal{M}$ 上采样得到的点云，其测地距离与最短路径的逼近一直是计算几何中的长期挑战。给定采样分辨率参数 $h$，现有最优离散方法可提供 $O(h)$ 的可证明逼近。本文研究了由 Sober 与 Levin 于 2019 年提出的流形移动最小二乘法（Manifold-MLS）所构造的逼近流形 $\mathcal{M}^h$（利用给定点云信息）的此类逼近的收敛性。本文证明，若 $\mathcal{M}\in C^{k}$ 且为闭流形（即 $\mathcal{M}$ 为无边界的紧流形），则 $\mathcal{M}^h$ 的黎曼度量逼近 $\mathcal{M}$ 的黎曼度量。具体而言，给定点 $p_1, p_2 \in \mathcal{M}$ 且测地距离为 $\rho_{\mathcal{M}}(p_1, p_2)$，我们证明其对应点 $p_1^h, p_2^h \in \mathcal{M}^h$ 的测地距离为 $\rho_{\mathcal{M}^h}(p_1^h,p_2^h) = \rho_{\mathcal{M}}(p_1, p_2)(1 + O(h^{k-1}))$（即 Manifold-MLS 近乎等距）。我们利用该结果以及 $\mathcal{M}^h$ 可以任意所需分辨率采样的事实，设计了一个朴素算法，以 $O(h^{k-1})$ 的收敛速率给出近似测地距离。我们在一些数值模拟中展示了所提方法的潜力及对噪声的鲁棒性。