通过 Lipschitz 嵌入与图上最短路径精确计算流形度量
计算几何
2020-04-22 v4 数据结构与算法
泛函分析
摘要
数据敏感度量根据数据点的密度局部调整距离，旨在使距离与某种相似性概念对齐。本文首次给出了计算一种称为最近邻度量的数据敏感度量的精确算法。事实上，我们证明了一个令人惊讶的结果：先前发表的一个 3-近似算法实际上是精确算法。最近邻度量可视为机器学习中使用的基于密度的距离的一个特例，也可看作流形度量的一个例子。此前关于此类度量的计算研究因难以在一对点之间的所有连续路径上求最小化而对计算精确距离感到绝望。我们利用最近邻度量的精确计算来构造稀疏生成树和计算持续同调。我们还探索了由来自底层分布的点集构建的度量的行为，并考虑了输入为路径连通紧集的有限集合的更一般情形。主要结果将若干经典理论联系起来，如黎曼度量的共形变换、Schoenberg 的正定函数理论以及 Schoenberg 与 Von Neumann 的螺旋函数理论。我们基于螺旋函数与 Lipschitz 扩张的结合发展了新颖的证明技术，这些技术可能具有独立的研究价值。
引用
@article{arxiv.1709.07797,
title = {Exact Computation of a Manifold Metric, via Lipschitz Embeddings and Shortest Paths on a Graph},
author = {Timothy Chu and Gary Miller and Donald Sheehy},
journal= {arXiv preprint arXiv:1709.07797},
year = {2020}
}
备注
15 pages