从噪声观测重建流形距离

我们考虑从噪声成对距离观测中重建流形内在几何的问题。具体而言，设 $M$ 为直径为 1 的 $d$ 维流形，$\mu$ 为 $M$ 上的概率测度，与体积测度互绝对连续。设 $X_1,\dots,X_N$ 为 $\mu$ 的独立同分布样本，我们观测到与真实测地距离 $d(X_j,X_k)$ 相关的噪声距离随机变量 $d'(X_j, X_k)$。在对噪声分布和独立性进行适当假设后，我们发展了一种新框架，用于从足够稠密的子样本中恢复流形上所有点之间的距离。我们的框架改进了假设噪声为独立同分布且已知矩的先前工作。我们的方法基于一种新颖的 $L_2$ 范数估计方法，用于估计特定期望函数 $f_x(y)=\mathbb{E}d'(x,y)$，并据此构建以样本点为中心的稳健聚类。通过一种新的几何论证，我们在 mild 的几何假设（有界曲率和正注入半径）下，表明这些聚类允许我们在距离误差 $O(\varepsilon \log \varepsilon^{-1})$ 的范围内恢复样本中点之间的真实距离。我们发展了两种产生这些聚类的算法。第一种方法的样本复杂度为 $N \asymp \varepsilon^{-2d-2}\log(1/\varepsilon)$，运行时间为 $o(N^3)$。第二种方法引入了新的几何思想，值得进一步探讨。在观测缺失的情况下，我们表明对采样概率的定量下界足以修改第一种算法中的聚类构建，从而扩展所有恢复保证。我们的主要技术结果还阐明了哪些流形属性是距离恢复所必需的，这表明我们的技术可进一步推广到更广泛的度量概率空间中。