突破体积屏障的距离去噪

我们研究从随机几何图重建潜在几何结构的問題。尽管最近的工作在从随机几何图和更一般的噪声距离中恢复流形方面取得了显著进展，但成对距离估计的精度在根本上受到体积屏障的限制，即來自於一般點與最近抽樣點之間距離為 $n^{-1/d}$ 的自然樣本間距尺度。本文中，我們引入一种新方法——正交环距离估计程序（Orthogonal Ring Distance Estimation Routine, ORDER），实现了点级距离估计精度为 $n^{-2/(d+5)}$（乘以对 $n$ 的多对数因子），以多项式时间内完成。该精度在维数 $d > 5$ 时严格优于体积屏障。由于获得了优于 $n^{-1/d}$ 的点级精度，我们证明了重构的度量测度空间与真实潜在流形之间的Gromov- Wasserstein距离为 $n^{-1/d}$。这匹配经验测度的Wasserstein收敛速率，表明我们重构的图度量在渐近意义上等同于获得所抽样点全成对距离矩阵的质量。我们的結果在極為一般的設定下成立，包括一般的噪聲成對距離模型、稀疏隨機几何圖以及未知連接概率函數。