拓扑持久图统计分析的黎曼框架

拓扑数据分析正成为一种研究高维特征空间而不需要任何上下文线索或假设的热门方法。本文关注一种流行的拓扑特征，即数据集中$d$维孔的数量，也称为Betti$-d$数。Betti数在不同尺度上的持续性被编码为持久图（PD），其指示了这些孔随尺度变化的出生和死亡时间。比较PD的一种常见方法是通过点与点匹配，由$n$-Wasserstein度量给出。然而，这种方法的一个大缺点是需要在计算距离之前解决点之间的对应问题；对于$n$个点，复杂度根据$\mathcal{O}(n^3)$增长。相反，我们提出使用一种建立在黎曼几何上的全新框架，将PD建模为2D概率密度函数，这些函数在希尔伯特球上的平方根框架中表示。所得空间更直观，且具有常见运算的闭式表达式。距离度量是1)无对应的，并且2)独立于数据集中点的数量。计算PD之间距离的复杂度现在根据$\mathcal{O}(K^2)$增长，对于$[0,1]^2$的$K \times K$离散化。这也使得现有微分几何工具可用于PD的统计分析，例如计算均值、测地线、分类等。我们以比Wasserstein度量更低的计算负载报告了有竞争力的结果，表明了所提方法的良好性质。