持续同调 Betti 序列的不稳定性及其稳定化版本

拓扑数据分析（TDA）作为相对新兴的数据分析领域，已在多种应用中证明非常有用。TDA 的主要持久化工具是持续同调，其在多个尺度上考察数据结构。持续同调的表示包括持久条带图与持久图，二者均为区间集合或多重集，难以与传统机器学习算法直接兼容。忠实表示条带图与持久图的问题主要沿两条路径推进：核方法与向量化。其中一种向量化是由持久条带图导出的 Betti 序列（或 Betti 曲线）。尽管 Betti 序列已在各类应用的分类问题中使用，但据我们所知，该序列的稳定性此前从未被讨论。本文中我们证明：在 1-Wasserstein 度量下，相对于其所由计算的条带图中的微小扰动，Betti 序列是不稳定的。此外，我们基于持续同调中 Stable Persistence Bag of Words 所见的高斯平滑，提出了一种新颖的稳定化 Betti 序列版本。随后我们引入归一化累积 Betti 序列，并给出支持本文核心论断的数值示例。