一种用于多参数持续同调分解快速且稳定表示的框架
计算几何
2023-06-21 v1 机器学习
代数拓扑
摘要
拓扑数据分析（TDA）是数据科学的一个领域，专注于利用代数拓扑中的不变量为点云等几何数据集提供多尺度形状描述符。其中最重要的此类描述符之一是{\em 持续同调}，其编码了当过滤参数（典型参数如特征尺度）变化时形状的改变。对许多数据集而言，同时变化多个过滤参数（例如特征尺度与密度）是有用的。尽管单参数持续同调的理论性质已被充分理解，多参数情形则所知较少。特别地，一个核心问题是将多参数持续同调表示为向量空间元素以与标准机器学习算法集成。现有应对此问题的方法，要么忽略大部分多参数信息以退化为单参数情形，要么是启发式方法且面对噪声时可能不稳定。本文中，我们引入一个新的通用表示框架，其利用了近期关于多参数持续同调{\em 分解}的结果。该框架信息丰富、计算快速，并涵盖了先前方法。此外，我们在此框架下建立了理论稳定性保证以及用于实际计算的高效算法，使该框架成为分析几何与点云数据的适用且通用之工具。我们通过数值实验验证了稳定性结果与算法，实验在多个真实数据集上展示了统计收敛性、预测准确性与快速运行时间。
引用
@article{arxiv.2306.11170,
title = {A Framework for Fast and Stable Representations of Multiparameter Persistent Homology Decompositions},
author = {David Loiseaux and Mathieu Carrière and Andrew J. Blumberg},
journal= {arXiv preprint arXiv:2306.11170},
year = {2023}
}