关于持续 Betti 数的渐近正态性

持续 Betti 数是持续同调（拓扑数据分析的一个子领域）中的主要工具。持续同调中的许多工具依赖于被视为二维随机过程 $(r,s) \mapsto n^{-1/2} (\beta^{r,s}_q ( \mathcal{K}(n^{1/d} \mathcal{X}_n))-\mathbb{E}[\beta^{r,s}_q ( \mathcal{K}( n^{1/d} \mathcal{X}_n))])$ 的持续 Betti 数的性质。迄今为止，在不同设定下已建立了逐点极限定理。特别地，对于具有常数强度函数的平稳泊松过程和二项过程，在所谓的临界（或热力学）区域中，已建立了（持续）Betti 数的逐点渐近正态性，参见 Yogeshwaran 等 [2017] 和 Hiraoka 等 [2018]。在本文中，我们导出了持续 Betti 数的强稳定化性质（秉承 Penrose 和 Yukich [2001] 的精神），并将关于渐近正态性的现有结果推广到多变量情形以及更广泛的底层泊松过程和二项过程类。最重要的是，我们证明了多变量渐近正态性对所有满足 $0\le r\le s<\infty$ 的对 $(r,s)$ 均成立，且不受底层随机几何图中的渗流效应影响。