Linial-Meshulam过程的持久同调

对于固定维度$k\ge 1$，我们考虑如下在顶点集合${1,2,\dots,n}$上的随机生长纤维复合体：我们从空复合体开始，对${1,2,\dots,n}$的每个${k+1}$元子集$\sigma$，在某个随机时间$t_\sigma$处添加$\sigma$及其所有子集，其中$(t_\sigma)$为独立同分布的均匀随机元素，取自区间$[0,n]$。随着复合体的演化，新的$(k-1)$维循环诞生，然后在稍后的时间被填满，即它们被“死亡”。持久图谱作为拓扑数据分析中的标准工具，提供了记录这些出生和死亡时间的方法。在本文中，我们理解上述随机演化复合体的持久图谱的渐近行为，随着$n$趋于无穷大。由于上述过程的单个时间边缘分布是Linial-Meshulam复合体的变体，因此我们的结果可视为Linial和Peled关于Linial-Meshulam复合体Betti数结果的延伸。我们的证明依赖于图的局部弱收敛概念，以及Bordenave、Lelarge和Salez关于稀疏随机矩阵秩的结果的推广。