热力学 regime 下随机单纯复形的谱

Linial-Meshulam复形是$n$个顶点上带有完整$(d-1)$维骨架、且$d$-单形以概率p独立出现的随机单纯复形，是Erdos-Renyi随机图在高维中最受研究的推广之一。本文讨论当$np \rightarrow \lambda$时Linial-Meshulam复形邻接矩阵的谱。我们证明存在非随机的极限谱分布(LSD)，并表明Linial-Meshulam复形有符号与无符号邻接矩阵的LSD互为反射。我们还表明LSD在零附近不对称、无界，且在归一化$1/\sqrt{\lambda d}$下，当$\lambda \rightarrow \infty$时收敛于标准半圆律。在论文后半部分，我们导出Linial-Meshulam复形线图的局部弱极限，并研究其对LSD连续部分的影响。