稀疏随机单纯复形中的特征值与谱隙

我们考虑随机 $d$ 维单纯复形（在 $n$ 个顶点上）的 Linial-Meshulam 模型 $X(d,n,p)$ 的邻接算子 $A$，其中每个 $d$ 胞腔以概率 $p\in[0,1]$ 独立地添加到完全的 $(d-1)$ 骨架中。我们考虑稀疏随机矩阵 $H$，它是中心化且归一化的邻接矩阵 $\mathcal{A}:=(np(1-p))^{-1/2}\cdot(A-\mathbb{E}\left[A\right])$ 的推广，通过将用于构造 $A$ 的 Bernoulli$(p)$ 随机变量替换为任意有界分布 $Z$ 得到。我们得到了 $H$ 的期望 Schatten 范数的界，由此能够证明特征值约束的结果，特别地，在 $\mathrm{Var}(Z)\gg\frac{\log n}{n}$ 的条件下，当 $n\to\infty$ 时 $\left\Vert H\right\Vert _{2}$ 在期望和 $\mathbb{P}-$几乎必然意义下均收敛到 $2\sqrt{d}$。证明中的主要成分是 [LVHY18,Theorem 4.8] 到高维单纯复形背景的推广，可视为具有相依元素的稀疏随机矩阵模型。