从含噪数据估计流形上的局部几何结构

在数据驱动的应用中，一个常见观察是高维数据具有较低的内在维度，至少在局部如此。在本工作中，我们考虑流形值数据的点估计问题。即，给定 $\mathcal{M}$（$\mathbb{R}^D$ 的一个 $d$ 维子流形）的一组有限含噪样本，以及流形附近的一点 $r$，我们的目标是将 $r$ 投影到该流形上。假设数据是从一个 $k$ 次光滑的无边界紧致流形的管状邻域中均匀采样的，我们提出了一种算法，该算法从该邻域中取出 $r$ 并输出 $\hat p_n\in \mathbb{R}^D$，以及 Grassmannian $Gr(d, D)$ 中的一个元素 $\widehat{T_{\hat p_n}\mathcal{M}}$。我们证明，随着样本数 $n\to\infty$，点 $\hat p_n$ 以高概率收敛于 $\mathbf{p}\in \mathcal{M}$（即 $r$ 在 $\mathcal{M}$ 上的投影），且 $\widehat{T_{\hat p_n}\mathcal{M}}$ 收敛于 $T_{\mathbf{p}}\mathcal{M}$（该点处的切空间）。此外，我们证明 $\hat p_n$ 以 $n^{-\frac{k}{2k + d}}$ 的渐近速率逼近流形，且 $\hat p_n, \widehat{T_{\hat p_n}\mathcal{M}}$ 分别以 $n^{-\frac{k-1}{2k + d}}$ 的渐近速率逼近 $\mathbf{p}$ 和 $T_{\mathbf{p}}\mathcal{M}$。