在存在大噪声的情况下将流形拟合到数据

我们假设 $M_0$ 是 $R^n$ 的一个 $d$ 维 $C^{2,1}$ 光滑子流形。设 $K_0$ 为 $M_0$ 的凸包，$B^n_1(0)$ 为单位球。我们假设 $M_0 \subseteq \partial K_0 \subseteq B^n_1(0)$。我们还假设 $M_0$ 的体积（$d$ 维 Hausdorff 测度）小于或等于 $V$，reach（即法向单射半径）大于或等于 $\tau$。此外，我们假设 $M_0$ 是 $R$-暴露的，即对于每个点 $x \in M$，存在一个半径为 $R$ 的闭球包含 $M$。设 $x_1, \dots, x_N$ 为从 $M_0$ 上均匀分布中采样的独立随机变量，$\zeta_1, \dots, \zeta_N$ 为 $R^n$ 中独立于 $x_1, \dots, x_N$ 的 i.i.d. 高斯随机变量序列，其均值为零，协方差为 $\sigma^2 I_n$。假设我们给定带噪声的样本点 $y_i$，由 $$y_i = x_i + \zeta_i,\quad \hbox{ for }i = 1, 2, \dots,N.$$ 给出。设 $\epsilon,\eta>0$ 为实数且 $k\geq 2$。给定点 $y_i$, $i=1,2,\dots,N$，我们构造一个 $C^k$ 光滑函数，其零集为一个流形 $M_{rec}\subseteq R^n$，使得 $M_{rec}$ 与 $M_0$ 之间的 Hausdorff 距离至多为 $\epsilon$，并且 $M_{rec}$ 的 reach 下界为 $c\tau/d^6$ 的概率至少为 $1 - \eta$。假设 $d < c \sqrt{\log \log n}$ 且所有其他参数为独立于 $n$ 的正常数，所需的算术运算数量是关于 $n$ 的多项式。在本文中，我们允许噪声幅度 $\sigma$ 为任意大的常数，从而克服了先前工作的一个缺陷。