对含噪数据拟合大reach流形

设 ${\mathcal M}\subset {\mathbb R}^n$ 为维数 $d$ 的 $C^2$ 光滑紧子流形。假设 ${\mathcal M}$ 的体积至多为 $V$ 且 ${\mathcal M}$ 的 reach（即法向内射半径）大于 $\tau$。此外，设 $\mu$ 为 ${\mathcal M}$ 上的概率测度，其在 ${\mathcal M}$ 上的密度为严格正的 Lipschitz 光滑函数。令 $x_j\in {\mathcal M}$，$j=1,2,\dots,N$ 为来自分布 $\mu$ 的 $N$ 个独立随机样本。又令 $\xi_j$，$j=1,2,\dots, N$ 为 ${\mathbb R}^n$ 中协方差为 $\sigma^2I$ 的高斯随机变量的独立随机样本，其中 $\sigma$ 小于 $d, V$ 和 $\tau$ 的某个特定函数。我们假设给定数据点 $y_j=x_j+\xi_j,$ $j=1,2,\dots,N$，建模带测量噪声的 ${\mathcal M}$ 随机点。我们开发了一种算法，以高概率从这些数据生成 $d$ 维子流形 ${\mathcal M}_o\subset {\mathbb R}^n$，其到 ${\mathcal M}$ 的 Hausdorff 距离小于 $Cd\sigma^2/\tau$ 且其 reach 大于 $c{\tau}/d^6$，其中 $C,c > 0$ 为普适常数。所需随机样本数 $N$ 几乎线性依赖于 $n$，多项式依赖于 $\sigma^{-1}$ 并指数依赖于 $d$。