黎曼流形光滑嵌入的切空间估计

数据分析中的众多降维问题涉及低维模型的恢复或数据集合 underlying 流形的学习。许多流形学习方法需要从局部可用的数据样本中估计流形在某一点的切空间。局部采样条件，如 (i) 邻域的大小（采样宽度）和 (ii) 邻域中的样本数量（采样密度），会影响学习算法的性能。在这项工作中，我们对位于 $\RR^{n}$ 中 $m$ 维黎曼流形 $S$ 上的点 $P$ 处的切空间估计的局部采样条件进行了理论分析。假设 $S$ 在 $\RR^{n}$ 中光滑嵌入，我们通过对 $S$ 上 $P$ 点邻域内采样的点执行主成分分析 (PCA) 来估计切空间 $T_P S$。我们的分析明确考虑了流形在 $P$ 点的二阶性质，即主曲率以及高阶项。我们考虑随机采样框架，并利用随机矩阵理论的最新结果，推导了准确估计切子空间的采样宽度和局部采样密度的条件。我们通过估计切空间与真实切空间 $T_P S$ 之间的角度来衡量估计精度，并给出了以高概率限制该角度的条件。特别是，我们观察到局部采样条件高度依赖于流形二阶局部近似中分量之间的相关性。最后，我们提供数值模拟以验证我们的理论发现。