切空间扰动的非渐近分析

对于位于高维平滑流形附近的大型含噪点数据集，构建其高效参数化仍然是一个基本问题。一种方法是利用局部切平面恢复局部参数化。主成分分析（PCA）通常是首选工具，因为它在无噪声样本来自线性子空间的情况下能返回最优基。为了处理来自非线性流形的含噪数据样本，必须在足够小的尺度上局部应用 PCA，使得流形近似线性，同时又要在足够大的尺度上，使得结构能够从噪声中被识别出来。利用特征空间扰动理论和非渐近随机矩阵理论，我们研究了 PCA 估计子空间的稳定性作为尺度的函数，并（以高概率）界定了其与真实切空间形成的角度。通过自适应地选择最小化该界限的尺度，我们的分析揭示了局部切平面恢复的合适尺度。我们还引入了一个几何不确定性原理，量化了噪声-曲率扰动对稳定恢复的限制。为了提供可在实践中使用的扰动界限，我们提出了插入式估计，使得能够将理论结果直接应用于真实数据集。