局部与整体边界刚性及法规范下的测地线X射线变换

本文分析了具有边界的一般黎曼流形 $(M,g)$ 的局部与整体边界刚性问题。我们证明了边界距离函数，即 $d_g|_{\partial M\times\partial M}$，在严格凸边界点 $p\in \partial M$ 附近已知时，可在 $M$ 中 $p$ 的适当邻域内确定 $g$，直至该问题自然的微分同胚不变性。我们还考虑了紧密相关的透镜刚性问题，这在边界距离不能由唯一极小测地线实现时是更自然的表述。透镜关系度量了从边界发出的测地线离开 $M$ 时的点与方向以及测地线的长度。透镜刚性问题是能否由透镜关系等距地确定度量。我们在假设 $M$ 上存在一个相对于 $g$ 具有适当凸性性质的函数下解决了透镜刚性问题。这可视为对 Herglotz 于1905年首次提出的一个问题的完整解决。我们还给出了给定半全局数据下的半全局结果。例如，这表明具有严格凸边界的单连通流形，若截面曲率非正或非负，或不存在焦点，则是透镜刚性的。关键工具是在法规范（如相对于超曲面的法坐标，其中还需允许权重）下分析对应于度量 $g$ 的2-张量上的测地线X射线变换。这通过改进和扩展我们之前在无散规范下的结果来处理。