存在磁场时的边界刚性问题

对于带边界的紧黎曼流形，赋予磁场势 $\alpha$，我们考虑由边界点之间的 Mañé 作用势的值以及相关的线性化问题恢复度量 $g$ 与磁场势 $\alpha$ 的问题。我们研究简单磁系统。在此情形下，已知 Mañé 作用势等价于已知边界上的散射关系，该关系将磁测地线的起点与方向映射为其终点与方向。此问题只能在一个等距变换与 $\alpha$ 的规范变换下求解。对于线性化问题，我们在曲率与 $\alpha$ 的显式界下证明了直至自然障碍的 injective（单射性）。我们还证明了在包含实解析情形的一个一般类 $\mathcal{G}$ 中 $g$ 与 $\alpha$ 的单射性与稳定性。对于非线性问题，我们证明了实解析简单 $g$、$\alpha$ 的刚性。此外，刚性对给定共形类中的度量成立，并且在任意 $(g,\alpha)\in \mathcal{G}$ 附近局部成立。