Banach代数上映射的导数

设$A$为交换环$D$上的Banach代数。若$$f(x+a)-f(x)=\partial f(x)\circ a+o(a)$$其中映射$f$的Gateaux导数$\partial f(x)$是增量$a$的线性映射，且$o$是满足$$\lim_{a\rightarrow 0}\frac{|o(a)|}{|a|}=0$$的连续映射，则称映射$f:A\rightarrow A$在Gateaux意义下可微。假设已定义$n-1$阶Gateaux导数$\partial^{n-1} f(x)$，我们定义$$\partial^n f(x)\circ(a_1\otimes...\otimes a_n) =\partial(\partial^{n-1} f(x)\circ(a_1\otimes...\otimes a_{n-1}))\circ a_n$$为映射$f$的$n$阶Gateaux导数。由于映射$f(x)$具有所有导数，则映射$f(x)$有Taylor级数展开$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n!)^{-1}\partial^n f(x_0)\circ(x-x_0)^n$$