关于形如 $A\mapsto\Tr(Pf(A))$ 的迹泛函的方向导数

给定函数 $f:(0,\infty)\rightarrow\RR$ 与半正定 $n\times n$ 矩阵 $P$，可在正定 $n\times n$ 矩阵上定义迹泛函 $A\mapsto \Tr(Pf(A))$。对于可微函数 $f$，函数 $A\mapsto \Tr(Pf(A))$ 在所有正定矩阵 $A$ 处可微。在关于 $f$ 的一定连续性条件下，该函数可延拓至某些非正定矩阵 $A$，并且可在这些点处计算 $\Tr(Pf(A))$ 的\emph{方向}导数。本注记给出了这些方向导数存在的条件并进行了计算。这些条件对函数 $f(x)=\log(x)$ 以及所有 $p>-1$ 的函数 $f_p(x)=x^p$ 成立。此处计算了相应迹泛函的导数。