Wasserstein 空间上沿密度曲线的导数

在本文中，给定概率空间 $(\Omega,\mathcal{F},Q)$ 上定义的任意随机变量 $\xi$，我们聚焦于研究形如 $L\mapsto F_Q(L):=f\big((LQ)_{\xi}\big)$ 的函数的导数，该函数定义于密度的凸锥 $L\in\mathcal{L}^Q:=\{ L\in L^1(\Omega,\mathcal{F},Q;\mathbb{R}_+):\ E^Q[L]=1\}$ 上，所在空间为 $L^1(\Omega,\mathcal{F},Q)$。此处 $f$ 是定义在 $\mathbb{R}^d$ 上概率律空间 $\mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$ 上的函数，该空间赋予其 Borel $\sigma$-域 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$。上述形式函数 $F_Q$ 的可微性问题源于对平均场控制问题的研究，其中受控动力学仅容许弱解。受 P.-L. Lions 的结果 [18] 启发，我们证明：若对给定 $L\in\mathcal{L}^Q$，$L'\mapsto F_{LQ}(L'):\mathcal{L}^{LQ}\rightarrow\mathbb{R}$ 在 $L'=1$ 处可微，则该导数形如 $g(\xi)$，其中 $g:\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}$ 为仅通过律 $(LQ)_\xi$ 依赖于 $(Q,L,\xi)$ 的 Borel 函数。将此导数记为 $\partial_1F((LQ)_\xi,x):=g(x),\, x\in\mathbb{R}^d$，我们研究其性质，并将其与近期 [6] 中探讨的偏导数相联系；此外，在 $f$ 限制于 2-Wasserstein 空间 $\mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$ 上在 P.-L. Lions 意义下可微且 $(LQ)_{\xi}\in\mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$ 的情形下，我们考察 $F_Q(L)=f\big((LQ)_{\xi}\big)$ 关于密度的导数与 $f$ 关于概率测度的导数之间的关系。我们的主要结果表明 $\partial_x\partial_1F((LQ)_\xi,x)=\partial_\mu f((LQ)_\xi,x),\ x\in \mathbb{R}^d,$ 其中 $\partial_\mu f((LQ)_\xi,x)$ 表示 $f:\mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow \mathbb{R}$ 在 $(LQ)_\xi$ 处的导数。