关于四阶复偏微分方程 Bernstein 性质的注记

对于开集 $\Omega\subset\mathbb{C}^{n}$ 上的光滑严格 plurisubharmonic 函数 $u$ 和 $\mathbf{R}^{*}_{+}$ 上的 $C^{1}$ 非减函数 $F$，我们研究了复偏微分方程 $$\Delta_{g}\log\det(u_{i\bar j})=F(\det(u_{i\bar j}))\Vert\nabla_{g}\log\det(u_{i\bar j})\Vert_{g}^{2},$$ 其中 $\Delta_{g}$、$\Vert . \Vert_{g}$ 和 $\nabla_{g}$ 分别是关于 Kähler 度量 $g=\partial\bar\partial u$ 的 Laplacian、张量范数和 Levi-Civita 联络。我们证明了上述偏微分方程具有 Bernstein 性质，即在 $\Omega$ 上 $\det(u_{i\bar j})=\hbox{constant}$，前提是 $g$ 是完备的，$g$ 的 Ricci 曲率有下界，且 $F$ 满足 $\inf_{t\in\mathbf{R}^{+}}(2tF^{'}(t)+{F(t)^{2}\over n})>{1\over 4}$ 以及 $F(\max_{B(R)}\det u_{i\bar j})=o(R)$。