具有左不变度量的李群中在梯度衰减条件下的 Moser/Bernstein 型定理

我们说黎曼流形 $M$ 上的一个偏微分方程(PDE)是几何的,如果对于 $M$ 的区域 $\Omega$ 上该 PDE 的解 $u$,对任意 $M$ 的等距 $\phi$,复合 $u_{\phi}:=u\circ\phi$ 在 $\phi^{-1}\left( \Omega\right)$ 上也是解。我们证明,若 $u\in C^{1}\left( \mathbb{H}^{n}\right)$ 是满足比较原理的几何 PDE 的解,其中 $\mathbb{H}^{n}$ 是常截面曲率 $-1$ 的双曲空间,$n\geq2$,且若$$\limsup_{R\rightarrow\infty}\left( e^{R}\sup_{S_{R}}\left\Vert \nabla u\right\Vert \right) =0,$$其中 $S_{R}$ 是以固定点 $o\in\mathbb{H}^{n}$ 为中心、半径为 $R$ 的 $\mathbb{H}^{n}$ 的测地球面,则 $u$ 为常数。此外,给定 $C>0$,存在有界非常数调和函数 $v\in C^{\infty }\left( \mathbb{H}^{n}\right)$ 使得$$\lim_{R\rightarrow\infty}\left( e^{R}\sup_{S_{R}}\left\Vert \nabla v\right\Vert \right) =C.$$上述结果的第一部分是本文证明的一个更一般定理的推论,该定理断言:若 $G$ 是具左不变度量的非紧李群,$u\in C^{1}\left( G\right)$ 是左不变 PDE(即若 $v$ 是 $G$ 的区域 $\Omega$ 上该 PDE 的解,则 $v$ 与左平移 $L_{g}:G\rightarrow G,\ L_{g}\left( h\right) =gh$ 的复合 $v_{g}:=v\circ L_{g}$ 对任意 $g\in G$ 在 $L_{g}^{-1}\left( \Omega\right)$ 上也是解)的解,该 PDE 满足比较原理且$$\limsup_{R\rightarrow\infty}\left( \sup_{g\in B_{R}}\left\Vert \operatorname*{Ad}\nolimits_{g}\right\Vert \sup_{S_{R}}\left\Vert \nabla u\right\Vert \right) =0,$$其中 $\operatorname*{Ad}\nolimits_{g}:\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{g}$ 是 $G$ 的伴随映射,$\mathfrak{g}$ 是 $G$ 的李代数,则 $u$ 为常数。