Diederich-Fornæss 指数的几何分析

我们推导出具有光滑边界的有界伪凸域 $\Omega\subset\mathbb{C}^2$ 上的一个充分条件，使得 $-(-\rho)^\eta$ 在 $\Omega$ 上为多重次调和，其中 $\eta>0$ 可任意接近 $1$（$\eta$ 的上确界称为 Diederich-Fornæss 指数，见定义 (df)）。该条件（见定理 prop）推广了 Fornæss 和 Herbig 于 2007 年提出的一个定理，且仅要求对边界 $\partial\Omega$ 的 Levi 平坦集施加限制。由于该条件施加于 Levi 平坦集上，它包含了更多的几何信息。作为该新条件的一个应用，我们讨论了 Levi 平坦集的几何如何影响 Diederich-Fornæss 指数。在其他结果中，我们证明了只要 Levi 平坦集构成与 $\partial\Omega$ 上的全纯切向量场横截的实曲线，Diederich-Fornæss 指数即为 $1$（见定理 [main]）。我们还给出了有界伪凸域的一个具体例子（见定理 [example]），该例验证了此应用，但其既不是有限型的，也不在边界上允许存在多重次调和定义函数。