$\overline{\partial}$--Neumann 问题的正则性、D'Angelo 形式与 Diederich--Forn\ae ss 指数

本文记述了始于 1990 年左右 \cite{BoasStraube91} 的一项发展，其中作者证明了如果 $\mathbb{C}^{n}$ 中的光滑有界伪凸域 $\Omega$ 存在一个在边界点处多次下调和的定义函数，则 $\Omega$ 上的 $\overline{\partial}$--Neumann 算子保持 Sobolev 空间 $W^{s}_{(0,q)}(\Omega)$，$s\geq 0$。随后，同样的作者证明了进一步的正则性结果，并明确了 D'Angelo 形式在正则性中的作用（\cite{BoasStraube93}）。几年后，Kohn（\cite{Kohn99}）通过将正则性成立的 Sobolev 水平与该区域的 Diederich--Forn\ae ss 指数相关联，启动了对 \cite{BoasStraube91} 中结果的定量研究。这些想法中的许多被 Harrington（\cite{Harrington11,Harrington19,Harrington22}）综合并进一步发展。随后，在 2020 年左右，Liu（\cite{Liu19b, Liu19}）和 Yum（\cite{Yum21}）发现 DF 指数与涉及 D'Angelo 形式的某些微分不等式密切相关。这一关系反过来引出了一项支持以下猜想的新结果：DF 指数为 1 应该意味着 $\overline{\partial}$--Neumann 问题中的全局正则性（\cite{LiuStraube22}）。上述大部分工作严重依赖于 Kohn 对 $\overline{\partial}$--Neumann 问题正则性理论的奠基性贡献。