$\mathbb{C}^{3}$ 中特殊域上 Kohn 算法中 Siu 有效终止性的显式计算

在本文中，我们遵循 Y-T. Siu 的一篇论文中的论证，研究 $\mathbb{C}^{3}$ 中特殊域上 Kohn 算法的有效终止性。我们明确了其中出现的有效常数和一般条件，并获得了 $\overline{\partial}$-Neumann 问题的 Dolbeault 拉普拉斯算子正则性的显式表达式。具体而言，在具有有限相交重数 $$s:=\dim_{\mathbb{C}}\ \mathcal{O}_{\mathbb{C}^{2},0} \big/ \langle F_{1},\dots, F_{N} \rangle < \infty,$$ 的全纯函数芽 $F_{1},\dots,F_{N}\in\mathcal{O}_{\mathbb{C}^{2},0}$ 的特殊形状局部伪凸域 $$\Omega:= \bigg\{(z_{1},z_{2},z_{3})\in\mathbb{C}^{3}:\ 2\text{Re}\ z_{3}+ \sum_{i=1}^{N}|F_{i}(z_{1},z_{2})|^{2}<0 \bigg\}$$ 上，我们证明了当仅依据 $s$ 满足以下条件时，$(0,1)$-形式具有 $\varepsilon$-次椭圆正则性：$$\varepsilon \geqslant \frac{1}{ 2^{(4s^{2}-1)s+3} s^{2}(4s^{2}-1)^{4} \binom{8s+1}{8s-1}}.$$