关于 Diederich-Forn{\\ae}ss 指标的竞争性定义

设 $\Omega\subset\mathbb{C}^n$ 为有界伪凸域。我们定义关于一族函数的 Diederich-Forn{\\ae}ss 指标为所有指数 $0<\eta<1$ 的集合的上确界，使得该族中存在函数 $\rho_\eta$ 满足 $-\rho_\eta$ 在 $\Omega$ 上与到 $\Omega$ 边界的距离相当，且 $-(-\rho_\eta)^\eta$ 在 $\Omega$ 上为多次调和的。我们首先证明：关于上半连续函数族的 Diederich-Forn{\\ae}ss 指标的计算，等同于关于 Lipschitz 函数族的 Diederich-Forn{\\ae}ss 指标的计算。当 $\Omega$ 的边界为 $C^k$（$k\geq 2$）时，我们证明关于 $C^k$ 函数族的 Diederich-Forn{\\ae}ss 指标与关于 $C^2$ 函数族的 Diederich-Forn{\\ae}ss 指标相同。